Ruch, który powtarza się w regularnych odstępach czasu, nazywamy ruchem okresowym. Przemieszczenie cząstki w ruchu periodycznym można zawsze wyrazić za pomocą funkcji sinus lub cosinus (tzw. funkcji harmonicznych). Ruch drgający jest powszechną formą ruchu obserwowaną w życiu codziennym i dlatego jest ważnym przedmiotem fizyki.

Dla przesunięcia wzdłuż osi x, siła sprężystości jest dana równaniem

Jeżeli sprężyna zostanie rozciągnięta tak, aby masa m znalazła się w chwili t = 0 w położeniu x = A, a następnie zostanie zwolniona, to położenie masy w funkcji czasu może być dane równaniem

Funkcja x(t) opisuje zarazem wychylenie ciała z położenia równowagi.

Sprawdźmy teraz czy to równanie dobrze opisuje ruch harmoniczny. Zgodnie z Zasady dynamiki Newtona-Druga zasada dynamiki Newtona

Żeby obliczyć przyspieszenie a obliczamy (zgodnie z równaniami Ruch na płaszczyźnie-( 1 ), Ruch na płaszczyźnie-( 2 ), Ruch na płaszczyźnie-( 3 ) ) odpowiednie pochodne wyrażenia ( 2 )

oraz

Teraz wyrażenia ( 2 ) i ( 5 ) podstawiamy do równania opisującego ruch oscylatora ( 3 ) i otrzymujemy

Widzimy, że zaproponowane równanie ( 2 ) jest rozwiązaniem równania ruchu oscylatora harmonicznego ( 3 ) przy warunku, że \( {\omega = \sqrt{k/m}} \).

Zwróćmy uwagę, że funkcja \( {x(t)=A\sin{\omega t}} \) jest również rozwiązaniem równania ale przy innych warunku początkowym bo gdy t = 0 to położenie masy x = 0, a nie jak przyjęliśmy x = A.

Ogólne rozwiązanie równania ruchu oscylatora harmonicznego ( 3 ) ma postać

Stała A (opisująca maksymalne wychylenie) jest amplitudą ruchu, wyrażenie \( \omega t + \varphi \) nazywamy fazą drgań, a \( \varphi \) fazą początkową (stałą fazową). Stałe A i \( \varphi \) są wyznaczone przez warunki początkowe. Na przykład dla \( \varphi = \pi/2 \) otrzymujemy rozwiązanie ( 2 ).

Równania ( 2 ), ( 4 ) i ( 5 ) opisują kolejno położenie, prędkość i przyspieszenie w funkcji czasu. Zależności te są pokazane na poniższym rysunku.

Zwróćmy uwagę, że wychylenie z położenia równowagi x(t) oraz przyspieszenie a(t) (a tym samym siła) osiągają równocześnie maksymalne wartości, przy czym zwroty wektorów x(t) i a(t) są przeciwne (równanie( 3 ) ) i stąd przeciwne znaki. Natomiast prędkość v(t) jest przesunięta w fazie (względem położenia) o \( \pi/2 \) co odzwierciedla fakt, że prędkość osiąga maksimum przy przechodzeniu oscylującej masy przez położenie równowagi, a jest zerowa przy maksymalnym wychyleniu gdy ciało zawraca.

Odpowiednie maksymalne wartości położenia, prędkości i przyspieszenia wynoszą

Wartości funkcji sinus i cosinus powtarzają się gdy kąt zmienia się o \( 2\pi \). Oznacza to, że funkcje x(t), v(t) i a(t) przyjmują taką samą wartość po czasie \( t = 2\pi/\omega \). Ten czas jest więc okresem ruchu T. Uwzględniając zależność ( 6 ) otrzymujemy

Zwróćmy uwagę, że okres drgań harmonicznych \( T \) jest niezależny od amplitudy drgań A. Ta właściwość drgań harmonicznych została wykorzystana w konstrukcji zegara wahadłowego.

Film ilustrujący ruch drgający